Une q - spécialisation pour les fonctions symétriques monomiales

Dans l’étude des fonctions symétriques, la théorie des λ-anneaux est une méthode particulièrement efficace, et pourtant peu utilisée. On trouvera une illustration de cette théorie dans [5]. Le but de cet article est d’en présenter une nouvelle application. Nous considérons le problème suivant : si f est une fonction symétrique et q une indéterminée, quelle est la valeur de f(1, q, q, . . . , q) ? Pour la plupart des fonctions symétriques classiques cette spécialisation est connue depuis très longtemps [1, 7, 8]. C’est le cas par exemple pour les fonctions de Schur, les sommes de puissances, les fonctions complètes ou les fonctions élémentaires. Dans ces deux derniers cas cette spécialisation est classique : ce sont les polynômes de Gauss. Le but de cet article est de donner la spécialisation f(1, q, q, . . . , q) lorsque f est une fonction symétrique monomiale. Ce résultat n’était pas encore connu. Plus généralement nous donnons la spécialisation des fonctions symétriques monomiales sur l’alphabet (a− b)/(1− q).